Page 1 of 2 12 Last
  1. #1
    Kreek's Avatar
    Registered
    02/03/04
    Location
    Geel
    Posts
    674
    iTrader
    1 (100%)
    Mentioned
    0 Post(s)
    Reputation
    0/0

    Splitsen/Integreren van partieelbreuken

    Kan iemand mij uitleggen hoe ik een integraal van een partieelbreuk oplos? Ik snap niet echt hoe dat in z'n werk gaat

    Hier een voorbeeldje:

    S( dx / x³ - 3x - 2 ) = .....

    Ik heb enkel de oplossing en die is volgens het boek
    1/9 ln |x-2| - 1/9 ln |x+1| + (1/3(x+1)) + k

    Nu snap ik nie hoe ze daaraan komen.. Kan iemand dit uitleggen?
    no votes  

  2. #2
    ElBramo's Avatar
    Registered
    11/09/04
    Location
    Gent
    Posts
    1,869
    iTrader
    0
    Mentioned
    0 Post(s)
    Reputation
    0/4
    Ffs, kheb morgen examen en ik kan het op het eerste gezicht ook nie oplossen ... *cry*
    Praeto

    Freddie de Kerpel is the reason why waldo is hiding.
    no votes  

  3. #3

    Registered
    07/06/05
    Posts
    1,387
    iTrader
    0
    Mentioned
    0 Post(s)
    Reputation
    26/29
    Let op de haakjes, je bedoelt de primitieve van 1/(x³ - 3x - 2).
    Kan je ontbinden in factoren? Het is duidelijk dat -1 een nulpunt is van de noemer, dus (x+1) is een factor.
    Dat geldt zelfs twee keer en de overblijvende factor is (x-2), eventueel zelf af te leiden via de regel van Horner.

    Dus: x³-3x-2 = (x-2)(x+1)².
    Voorstel tot splitsing: 1/(x³-3x-2) = A/(x-2)+B/(x+1)+C/(x+1)²

    Rechterlid terug op de oorspronkelijke noemer brengen en gelijkstellen aan de oorspronkelijke teller (dat is 1). Groeperen volgens machten van x en coëfficiënten identificeren levert een lineair stelsel van 3 vergelijkingen in de 3 onbekenden A,B,C.
    Eventueel sneller op te lossen door gebruik te maken van het feit dat als het *voor alle x* moet gelden, dan ook voor enkele goed gekozen waarden. Kies nulpunten van de noemer (hier 2 en -1) om termen te laten wegvallen en eenvoudigere vergelijkingen te krijgen.

    Antwoord ter controle: A = 1/9, B = -1/9, C = -1/3, dus:
    1/(x³-3x-2) = 1/(9(x-2))-1/(9(x+1))-1/(3(x+1)²)

    Nu kan je rechtstreeks term per term integreren: twee keer een ln en één keer gewoon de exponentregel.
    "Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
    no votes  

  4. #4
    Parnakra's Avatar
    Registered
    15/04/04
    Location
    Izegem
    Posts
    6,095
    iTrader
    1 (100%)
    Mentioned
    0 Post(s)
    Je zoekt eerst naar een oplossing van de vgl die in de noemer staat. (-1, in dit geval, daarna reken je na welke tweedegraadsveelterm je nog nodig hebt)

    Dan heb je: S(dx / (x+1)(x²-x-2))

    Wat blijkt? We kunnen de tweedegraadsveelterm ook nog ontbinden. Dus krijgen we uiteindelijk:

    S(dx / (x+1)²(x-2))

    Nu is die breuk de uitkomst van de som van twee breuken, waarvan de noemers gelijk zijn aan de coëfficiënten van de uiteindelijke noemer. Laten we deze breuken even met letters voorstellen:

    (ax + b)/(x+1)² + c/(x-2) = 1/((x+1)²(x-2))

    Als we het linkerlid op één noemer zetten (een noemer die gelijk is aan die uit het rechterlid) kunnen we dus de tellers (en de coëfficiënten van dezelfde graden) aan elkaar gelijkstellen.

    Teller linkerlid = (a+c)x² - (2a-b-2c)x - (2b-c)
    Als we nu m.b.v. rechterlid de onbekenden in enkele vgl'en plaatsen, bekomen we volgend stelsel:

    a+c=0
    2a-b-2c=0
    -2b+c=1

    Na wat rekenwerk komen we uit:

    a=-1/9
    b=-4/9
    c=1/9

    Samengevat: nu hebben we volgende integraal:

    S(((-1/3(x+1)²)+1/9(x-2))dx)

    Deze is dan relatief simpel op te lossen. (uitsplitsen in twee integralen, elk apart primitiveren)

    edit: bah, Tom! is juist. Ik was vergeten met het kwadraat rekening te houden bij de partieelbreuken. (dan typ ik hier zo lang aan :'( )
    no votes  

  5. #5

    Registered
    07/06/05
    Posts
    1,387
    iTrader
    0
    Mentioned
    0 Post(s)
    Reputation
    26/29
    In het algemeen, met (ax+b)^n, moet je n keer zo'n term hebben, met alle machten van 1 tot n.
    Een lineaire teller voorstellen moet enkel als de noemer kwadratisch is, met discriminant kleiner dan 0.
    "Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
    no votes  

  6. #6
    Parnakra's Avatar
    Registered
    15/04/04
    Location
    Izegem
    Posts
    6,095
    iTrader
    1 (100%)
    Mentioned
    0 Post(s)
    Quote Originally Posted by Tom!
    This quote is hidden because you are ignoring this member. Show
    In het algemeen, met (ax+b)^n, moet je n keer zo'n term hebben, met alle machten van 1 tot n.
    Een lineaire teller voorstellen moet enkel als de noemer kwadratisch is, met discriminant kleiner dan 0.
    Inderdaad, maar ik had gewoonweg over dat kwadraat heengekeken, waarschijnlijk. =/

    (trouwens, ik kom maar één term tekort in m'n oplossing, dus zou ik nog 2/3 v/d punten moeten krijgen )
    no votes  

  7. #7

    Registered
    07/06/05
    Posts
    1,387
    iTrader
    0
    Mentioned
    0 Post(s)
    Reputation
    26/29
    Quote Originally Posted by Parnakra
    This quote is hidden because you are ignoring this member. Show
    (trouwens, ik kom maar één term tekort in m'n oplossing, dus zou ik nog 2/3 v/d punten moeten krijgen )
    Leuke leekracht heb jij
    "Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
    no votes  

  8. #8
    ElBramo's Avatar
    Registered
    11/09/04
    Location
    Gent
    Posts
    1,869
    iTrader
    0
    Mentioned
    0 Post(s)
    Reputation
    0/4
    Hmm ik snap het ongeveer, mr het is een nieuwe methode voor mij. Kheb nooit breuken moeten integreren die van de 3e graad waren.

    Zal daar nu dus ook mr eens op oefenen... Merci voor het antwoord

    edit: nu zie ik opeens dat kwadraat nog staan... Waar komt dat opeens vandaan?
    Praeto

    Freddie de Kerpel is the reason why waldo is hiding.
    no votes  

  9. #9
    Parnakra's Avatar
    Registered
    15/04/04
    Location
    Izegem
    Posts
    6,095
    iTrader
    1 (100%)
    Mentioned
    0 Post(s)
    Quote Originally Posted by Tom!
    This quote is hidden because you are ignoring this member. Show
    Leuke leekracht heb jij
    Had, jammer genoeg. (wat zal ik de middelbare school missen)

    En let op de 'zou', mijn leerkracht ging mij een mooi rond getalletje gegeven hebben, moest ik op een examen/toets geschreven hebben wat ik daarjuist neergetypt heb.

    En zo hoort het ook!

    EDIT: @ElBramo, als je je derdegraadsveelterm ontbindt krijg je (x+1), als je dan je tweedegraadsveelterm ontbindt krijg je nogmaals (x+1). (x+1)(x+1)=(x+1)²

    Maar ik denk dat je morgen meedoet aan het ingangsexamen geneeskunde (confer thread daarover =) ), en volgens mij zal je geen oefeningen van dit niveau krijgen. (een partieelbreuk met kwadratische noemer (of hogere graad))
    Last edited by Parnakra; 28-08-2006 at 15:19.
    no votes  

  10. #10

    Registered
    07/06/05
    Posts
    1,387
    iTrader
    0
    Mentioned
    0 Post(s)
    Reputation
    26/29
    Quote Originally Posted by ElBramo
    This quote is hidden because you are ignoring this member. Show
    Hmm ik snap het ongeveer, mr het is een nieuwe methode voor mij. Kheb nooit breuken moeten integreren die van de 3e graad waren.

    Zal daar nu dus ook mr eens op oefenen... Merci voor het antwoord
    Graag gedaan. Het is een vrij belangrijke techniek omdat veeltermbreuken hierdoor altijd primitiveerbaar zijn. Precies omdat je ze, door splitsing in partiële breuken, steeds kan reduceren tot een som van breuken die maximaal kwadratisch zijn in de noemer en lineair in de teller.

    Quote Originally Posted by ElBramo
    This quote is hidden because you are ignoring this member. Show
    edit: nu zie ik opeens dat kwadraat nog staan... Waar komt dat opeens vandaan?
    Welk kwadraat? Wat snap je niet?

    Quote Originally Posted by Parnakra
    This quote is hidden because you are ignoring this member. Show
    HEn let op de 'zou', mijn leerkracht ging mij een mooi rond getalletje gegeven hebben, moest ik op een examen/toets geschreven hebben wat ik daarjuist neergetypt heb.
    Een 0 zou ik er niet op geven, laten we zeggen 1/3
    "Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
    no votes  

  11. #11
    ElBramo's Avatar
    Registered
    11/09/04
    Location
    Gent
    Posts
    1,869
    iTrader
    0
    Mentioned
    0 Post(s)
    Reputation
    0/4
    Voorstel tot splitsing: 1/(x³-3x-2) = A/(x-2)+B/(x+1)+C/(x+1)²
    Dat snap ik niet Bij die C in de teller is er een kwadraat in de noemer... Typo of is dat gewoon een techniek? ^^
    Praeto

    Freddie de Kerpel is the reason why waldo is hiding.
    no votes  

  12. #12

    Registered
    07/06/05
    Posts
    1,387
    iTrader
    0
    Mentioned
    0 Post(s)
    Reputation
    26/29
    Dat komt omdat: x³-3x-2 = (x-2)(x+1)².
    "Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
    no votes  

  13. #13
    Tha_nOn's Avatar
    Registered
    15/08/02
    Location
    nope
    Posts
    10,261
    iTrader
    0
    Mentioned
    5 Post(s)
    Reputation
    28/486
    das de techniek ervoor

    was hetgene waar ik ook had overgezien toen ik het hier aant oplossen was klotegedoe
    no votes  

  14. #14
    Tyfius's Avatar
    Registered
    01/09/02
    Location
    Peutie
    Posts
    7,664
    iTrader
    0
    Mentioned
    4 Post(s)
    Reputation
    0/105
    Man, ben ik blij dat ik in mijn 3 jaar informatica geen wiskunde meer gezien heb. 'k Kan er totaal niets meer van
    Vanaf nu gaan we verder op BeyondGaming!
    In deze thread wordt uitgelegd hoe je jouw account kan migreren.
    no votes  

  15. #15

    Registered
    07/06/05
    Posts
    1,387
    iTrader
    0
    Mentioned
    0 Post(s)
    Reputation
    26/29
    Voor splitsing in partiële breuken: hier beknopt de theorie en hier wat voorbeelden en meer uitleg, + google natuurlijk
    "Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
    no votes  

Posting Permissions

  • You may not post new threads
  • You may not post replies
  • You may not post attachments
  • You may not edit your posts
  •  

Log in

Log in