Weeral wiskunde! (meetkunde)

[Gonzoid]

Ik ben op zoek naar de formule voor het volgende : om een piramidevormig dakje te maken heb ik dus de basis van mijn piramide en de hoogte, en ik zou willen weten onder hoeveel graden ik het verstek moet zagen om mijn 4 driehoekjes samen te stellen.


eenvoudig voorbeeldje : basis piramide is 80mm, piramidehoogte is 40mm, mijn 4 driehoekjes zijn dus basis 80mm hoogte 56,6

dan moet ik aan mijn 4 driehoekjes een verstekhoek 60 graden zagen (machine 30 graden schuin zetten) om deze samen te stellen. Basishoek van de piramide (om deze op een plat vlak te zetten) is 45 graden

Hoe bereken je deze hoeken?

Zo moeilijk kan het toch niet zijn om dit in een klein formuleke te gieten, dacht ik. Eerst heb ik een beetje met trial en error gezocht, maar mijn basis meetkunde van vroeger zit blijkbaar erg diep . Met behulp van deze site Compound Miter Saw Calculator die ik gevonden heb kon ik dan mijn dakje ook effectief maken, maar ik zou graag eens weten hoe je hieraan komt. En neen, 't is niet voor mijn huiswerk, daar ben ik helaas al veel te oud voor

[Lensos]

De hoek tussen grondvlak en zijvlak is het eenvoudigst. Daar de breedte van uw grondvlak het dubbele is van de hoogte van uw piramide, volgt een hoek van 45 graden nogal logischerwijs, zou ik denken? Als dat niet 40mm maar 50mm hoog is, dan kan je met de definities van sinussen,cosinussen en tangensen er wel geraken:
\begin{equation}
\tan \theta = \frac{hoogte}{halve\ basis} = \frac{50mm}{40mm} = 5/4 \to \theta = 51.3 \ graden \end{equation}
(ik weet wel nie juist of dit de verstekhoek is, of het 90-complement daarvan)
Een techniek die voor het zijvlak/zijvlak echter ook handiger zal zijn is denken in normaalvectoren op de oppervlakken. Voor het grondvlak is deze (0,0,1) (in de z-richting, omhoog). Voor een zijvlak, met een normaal in de y-richting, is dit voor de 50mm hoogte:
(-50,0,40).
De vector langsheen de wand loopt immers gelijk met (40,0,50) (voor elke 40mm opzij, moet je er 50 omhoog). (-50,0,40) staat daar loodrecht op.
Voor vectoren a en b geldt voor het scalair product:
\[ a \cdot b = \|a\| \times \|b\| \times \cos(\theta)
\]
Doe dit voor het grondvlak zijvlak:
\[40 = (0, 0, 1) \cdot (-50, 0, 40) = 1 \times \sqrt{50^2 + 40^2} \times \cos(\theta) \to \cos(\theta) = \frac{40}{\sqrt{50^2 + 40^2}} \to \theta = 51.3 \ graden\]

Dit maakt het voor de zijvlakken ook gemakkelijker. De ene heeft (-50,0,40) als normaal, de andere heeft (0, -50, 40), zodat
\[40^2 = (0, -50, 40) \cdot (-50, 0, 40) = \sqrt{50^2+40^2} \times \sqrt{50^2 + 40^2} \times \cos(\theta) \to \cos(\theta) = \frac{40^2}{50^2 + 40^2} \to \theta = 67 \ graden\]
Als je overal 50 door 40 vervangt, dan komt je dus 45 grade en 60 graden uit.
Als sommige concepten, zoals scalair product of normaalvector, je niets zeggen, dan raad ik wikipedia aan